פתרון בגרות 2017 מועד א (481)טריגונומטריה 571 · שיעור 21
בגרות 481 – קיץ 2017 מועד א, שאלה 5
שיעור 20 – פתרון בגרות 2017 מועד א (481)
פרק 4 – פתרון בגרויות (שאלון 481)
1נוסח השאלה
2סעיף א – זוויות המשולש ACE
3סעיף ב – צלע הריבוע
4סעיף ג – DF
5סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם
📄 נוסח השאלה
ABCD הוא ריבוע. הנקודה E נמצאת על המשך הצלע DC , כמתואר בציור.
המשולש ACE הוא שווה שוקיים, AC = CE. הישר AE חותך את הצלע BC בנקודה F.
א. מצאו את זוויות המשולש ACE.
ב. שטח המשולש ACE הוא 8√2 סמ"ר. חשבו את אורך צלע הריבוע.
ג. חשבו את אורך הקטע DF.
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. מצאו את אורך הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש DFE.
סעיף א – זוויות המשולש ACE
האלכסון בריבוע חוצה את זווית הריבוע, לכן:
∢ACD = 902 = 45
הנקודה E על המשך DC , לכן ∢ACE צמודה ל־∢ACD:
∢ACE = 180 − 45 = 135
המשולש ACE שווה שוקיים (AC = CE ), לכן זוויות הבסיס שוות:
∢CAE = ∢CEA
סעיף א – זוויות המשולש ACE · המשך
∢CAE = ∢CEA
∢CAE + ∢CEA + ∢ACE = 180
📐 סכום זוויות במשולש
נציב ∢ACE = 135 ו־∢CEA = ∢CAE:
2 · ∢CAE + 135 = 180
2 · ∢CAE = 45
∢CAE = ∢CEA = 22.5
📐 סכום זוויות במשולש
180 מעלות
סעיף א – זוויות המשולש ACE · המשך
∢CAE = ∢CEA = 22.5
✅ פתרון סופי: ∢ACE = 135 , ∢CAE = ∢CEA = 22.5
סעיף ב – צלע הריבוע
נסמן AC = CE = x. הזווית שביניהן ∢ACE = 135:
S = 12 · AC · CE · sin∢ACE
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
נציב S = 8√2 , AC = CE = x , ∢ACE = 135:
8√2 = 12 · x · x · sin 135
8√2 = 12 · x2 · sin 135
מכפילים את שני האגפים ב־2:
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · a · b · sin∢C
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
סעיף ב – צלע הריבוע · המשך
מכפילים את שני האגפים ב־2:
16√2 = x2 · sin 135
מחלקים ב־sin 135:
x2 = 16√2sin 135 = 32
x = √32
במחשבון: 16 √ 2 ÷ sin 135 = נותן 32.
סעיף ב – צלע הריבוע · המשך
במחשבון: 16 √ 2 ÷ sin 135 = נותן 32.
נסמן את צלע הריבוע ב־y. במשולש ADC ישר הזווית AC יתר:
AD2 + DC2 = AC2
📐 משפט פיתגורס
נציב AD = DC = y ו־AC = √32:
y2 + y2 = (√32)2
2y2 = 32
📐 משפט פיתגורס
ניצב2 + ניצב2 = יתר2
סעיף ב – צלע הריבוע · המשך
2y2 = 32
y2 = 16
y = 4
הפתרון y = −4 נפסל, כי אורך הוא חיובי.
✅ פתרון סופי: 4 ס"מ
סעיף ג – DF
קודם נמצא את FC , ואחר כך פיתגורס במשולש DCF.
המשולש FCE ישר זווית, כי ∢FCE = 90 (זווית צמודה לזווית הריבוע). FC ניצב מול ∢CEF , ו־CE ניצב ליד הזווית:
tan∢CEF = FCCE
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
נציב ∢CEF = 22.5 ו־CE = √32:
tan 22.5 = FC√32
FC = √32 · tan 22.5 ≈ 2.343
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
tan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
סעיף ג – DF · המשך
FC = √32 · tan 22.5 ≈ 2.343
במשולש DCF ישר הזווית (∢C = 90 ) היתר הוא DF:
DC2 + FC2 = DF2
📐 משפט פיתגורס
נציב DC = 4 ו־FC ≈ 2.343:
42 + 2.3432 = DF2
21.49 ≈ DF2
📐 משפט פיתגורס
ניצב2 + ניצב2 = יתר2
סעיף ג – DF · המשך
21.49 ≈ DF2
DF ≈ 4.64
✅ פתרון סופי: DF ≈ 4.64 ס"מ
סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם
במשולש DFE הצלע DF נמצאת מול הזווית ∢E = 22.5:
DFsin∢E = 2R
📐 משפט הסינוסים
נציב DF ≈ 4.64 ו־∢E = 22.5:
4.64sin 22.5 = 2R
12.12 ≈ 2R
R ≈ 6.06
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם · המשך
R ≈ 6.06
על הלוח בסרטון נכתב 6.04 בגלל עיגולי ביניים; החישוב המדויק נותן 6.06.
✅ פתרון סופי: R ≈ 6.06 ס"מ
📌 סיכום התשובות
סעיף א
135 , 22.5 , 22.5
סעיף ב
4
סעיף ג
DF ≈ 4.64
סעיף ד
R ≈ 6.06
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא